Итак, какое место занимает математика в такой игре как покер? Существуют миллионы игроков, которые уверены, что никакой связи между этими вещами не существует. О них вряд ли можно сказать, что они хорошие игроки. Также есть много людей, которые знакомы с основами покера, в частности, с концепцией аутов/шансов банка. В их числе абсолютно все плюсовые игроки. Определим это как первый уровень проникновения математики в мышление покерного игрока.

Вторым, и гораздо более продвинутым, уровнем будет понимание термина математического ожидания случайной величины (EV) применительно к игре в покер и умение его вычислить. Некоторые успешные игроки и тренеры уверяют, что не пользуются сложными концепциями в своей игре и не очень любят математику. Такое возможно только при наличии глубокого интуитивного понимания игры – таланта, другими словами, который, к сожалению, (а может быть и к счастью) встречается довольно редко. Поэтому тем, кому не посчастливилось родиться покер-про, приходится пользоваться различными средствами, чтобы попытаться стать им. И математика, на мой взгляд, самый подходящий инструмент для этого.

Таким образом, использование расчётов EV для анализа (т.к. во время игры это сделать почти всегда невозможно) различных ситуаций существенно повышает уровень игрока в покер. Но этот метод позволяет убедиться в правильности/ошибочности того или иного решения лишь постфактум. Также он не даёт ответа на вопрос о том, какое из двух плюсовых/минусовых решений выгоднее при различных обстоятельствах. Однако применение расчётов математического ожидания позволяет нам шагнуть ещё на одну ступеньку вверх и перейти на следующий уровень.

Условное сравнительное ожидание

Хороший игрок в покер почти всегда может принять верное решение, если выбор стоит между прибыльным и убыточным действием. А что если выбирать приходится из, скажем, двух очевидно минусовых действий? Или мы точно знаем как прибыльно сыграть в аналогичной ситуации, но против игрока другого типа?

В таких случаях нам придётся посчитать EV всех вариантов, сравнить их и выразить через интересующие нас параметры (ими могут быть фолд-эквити, размер ставки, размер банка, диапазон оппонента и т.д.) – отсюда и название.

Для начала немного теории. Таблицы распределения вероятностей дискретной случайной величины – это таблицы вида:



где p и q – вероятности исходов случайного события, причём они должны составлять полную группу (т.е. p + q = 1), A и B – значение случайной величины в результате соответствующего исхода. Матожидание случайной величины (M), представленной подобной таблицей, будет равно сумме произведений значений случайной величины на вероятности соответствующих исходов:

M = p*A + q*B

Например, таблица распределения выигрыша, в случае если игрок перед нами делает оупен-пуш:



где p – эквити против диапазона его пуша, AI – сумма, необходимая для колла. Матожидание выигрыша будет:

EV = p*(1,5 + AI) – AI*(1 – p) = p*(1,5 + 2*AI) – AI

Практическое применение условно-сравнительного ожидания рассмотрим с помощью двух примеров.

Мёртвые деньги

Концепция мёртвых денег была подробно разобрана Эндрю «BalugaWhale» Зейдманом в его книге «Easy Game». Суть её, вкратце, заключается в том, что ставка иногда может быть оправдана даже тогда, когда ни одна рука лучше нашей не сбросится и ни одна рука хуже нашей не станет коллировать. Попробуем точно определить, в каких ситуациях ставка для сбора мёртвых денег будет прибыльна.

Итак, у нас есть рука, имеющая некоторое шоудаун-вэлью. Упростим ситуацию – мы в позиции и мы уверены, что оппонент не будет ставить на следующих улицах с блефом. Нам нужно выяснить насколько слабым должен быть диапазон противника (при прочих равных).

1.Вычисляем матожидание выигрыша при нашем отказе от ставки:

M1 = B*p*fe + q*(1 – fe), где B – размер банка, fe – доля рук младше нашей в диапазоне оппа, p – эквити против рук младше нашей, q – эквити против рук старше нашей.

2. Вычисляем матожидание в случае ставки:



M2 = B*(1 – b)*fe + B*(1 – a)*(1 – fe) + (B + R)*p*b*fe + (B + R)*a*(1 – fe)*q – R*(1 – p)*b*fe –
– R*(1 – q)*a*(1 – fe), где R – размер предполагаемой ставки, a – процент рук старше нашего (от общего кол-ва старших), которые ответят на ставку b – процент рук младше (от общего кол-ва младших), которые ответят нам.

3. Нас интересуют только те ситуации, где EV-ставки больше EV-чека, т.е. M1 < M2, откуда получим:

fe*[B*p – B*(1 – b) – (B + R)*p*b + R*(1 – p)*b] <

< (1 – fe)*[B*(1 – a) + (B + R)*a*q – R*(1 – q)*a – q].

В итоге:

fe/(1 – fe) > [B*(1 – a) + (B + R)*a*q – R*(1 – q)*a – q] / [B*p – B*(1 – b) – (B + R)*p*b + R*(1 – p)*b] ?.

На первый взгляд, не очень содержательно, однако, используя редактор электронных таблиц, можно получить подобную таблицу:



поэкспериментировав с которой можно получить много полезной информации. Например, показательно, что чем более связан борд (соответственно, у нижней части диапазона оппонента больше эквити против нашей, имеющей ценность на вскрытии руки), тем более лузово мы можем ставить:


_________________________

? Для самых наблюдательных: знак неравенства поменялся на противоположный, т.к. выражение, которое мы перенесли из левой части в правую – отрицательная величина:

[B*p – B*(1 – b) – (B + R)*p*b + R*(1 – p)*b] < 0, для всех В > 0.

Изменяя таким образом значения различных параметров, можно сделать много выводов (или подтвердить свои догадки) относительно наиболее правильных решений в тех или иных ситуациях.

Блок-бет

В предыдущем примере мы разобрали ситуацию, в которой у нас было два варианта розыгрыша: чек или бет. Немного усложним задачу. Когда нам предоставляется возможность поставить блокирующую ставку, мы, на самом деле, выбираем из трех альтернатив. Это чек/фолд, чек/колл и бет/фолд (левелинг и провоцирующий блок-бет мы не рассматриваем).

Попробуем посчитать математическое ожидание каждого из них и понять, при каких условиях оптимальнее тот или иной вариант.

Итак, сначала решим для себя относительно каких параметров мы будем принимать решение сделать тот или иной ход. Например, совершенно очевидно, что если оппонент (допустим, хорошо нам известный) никогда не будет ставить с блефом, то вариант чек/колла не будет верным априори. Чуть менее очевидно (хотя всё ещё довольно понятно), что против такого оппонента и блок-бет имеет мало смысла. Таким образом, для того, чтобы принять верное решение о продолжении розыгрыша, нам надо основываться на диапазоне оппонента, а точнее, на соотношении в его спектре различных групп рук. Определим эти группы:

bl – процент рук младше нашей от общего количества рук в диапазоне оппонента (или просто количество рук, подходящее под следующее условие), с которыми он будет блефовать после нашего чека, но которые он сбросит на наш бет.

Dl0 – процент рук младше нашей, с которыми оппонент не станет блефовать и которые он сбросит на бет. (Для самых наблюдательных: знак неравенства поменялся на противоположный, т.к. выражение, которое мы перенесли из левой части в правую – отрицательная величина: [B*p – B*(1 – b) – (B + R)*p*b + R*(1 – p)*b] < 0, для всех В > 0).

Dl1 – процент рук младше нашей, с которыми оппонент не станет блефовать, но с которыми он ответит на наш бет.

Dh0 – процент рук старше нашей, с которыми оппонент ответит на наш бет, но с которыми он не будет ставить сам после нашего чека.

Dh1 – процент рук старше нашей с которыми оппонент ответит на наш бет (или повысит), и с которыми он поставит сам после нашего чека. Также обозначим размер возможной ставки оппонента и размер предполагаемого блок-бета в долях от текущего размера банка, за «x» и «y» соответственно. Тогда таблица распределения вероятностей в случае нашего чек /фолда будет выглядеть так:



Матожидание выигрыша в случае нашего чек/фолда будет равно:

M1 = Dl0 + Dl1

То же, только для чек/колла:



Математическое ожидание:

M2 = bl + x*bl – x*Dh1 + Dl0 + Dl1

И, наконец, для блок-бета:



Выигрывать мы будем в такой ситуации в среднем:

M3 = bl + Dl0 + Dl1 + y*Dl1 – y*Dh0 – y*Dh1

Теперь, составив неравенство, выясним при каких условиях блок-бет выгоднее чек/фолда:

M3 > M1 =>

bl + Dl0 + Dl1 + y*Dl1 – y*Dh0 – y*Dh1 > Dl1 + Dl0 =>

bl > y*(Dh0 + Dh1 – Dl1)

А вот при каких обстоятельствах блок-бет прибыльнее чек/колла:

M3 > M2 =>

bl + Dl0 + Dl1 + y*Dl1 – y*Dh0 – y*Dh1 > bl + x*bl – x*Dh1 + Dl1 + Dl0 =>

bl < Dh1 + (y*(Dl1 – Dh0 – Dh1)/x)

Теперь узнаем, когда чек/колл будет лучше чек/фолда:

M2 > M1 =>

bl + x*bl – x*Dh1 + Dl1 + Dl0 > Dl1 + Dl0 =>

bl > Dh1*(x/(x+1))

Теперь можно составить следующую блок -схему:



Таким образом, в соответствии со всем изложенным, определяющим фактором при принятии решения о совершении блокирующей ставки будет наличие (или отсутствие) в диапазоне оппонента достаточного количества рук, с которыми он станет блефовать. То есть, если частота блефа оппонента слишком мала, то верным решением будет чек/фолд (правая ветка).

Если частота блефа приемлима, но рук младше нашей, с которыми оппонент ответит на наш бет, недостаточно, то правильным решением будет чек/колл (средняя правая ветка). Если же в диапазоне оппонента есть и блефы, и руки -блеф-кэтчеры, то блок-бет – лучший вариант (левая ветка). И, наконец, даже несмотря на наличие достаточного количества блеф-кэтчеров в спектре противника, прибыльнее играть чек/колл, если он очень агрессивный игрок и будет очень часто ставить с блефом (средняя левая ветка).

На самом деле, ничто из этого не является секретом для любого хорошего игрока, который зачастую интуитивно чувствует ту грань, за которой более выгодным становится иное решение. Но для того, чтобы точно оценить корректность выбранного хода, без подобных расчётов не обойтись. На их основе составим ещё одну электронную таблицу:



С её помощью хорошо видно, как тонка может быть эта самая грань:



Небольшое изменение диапазона оппонента, и оптимальное решение также меняется. Или немного другой размер ставки и...



Подобного рода упражнения, на мой взгляд, являются отличным инструментом не только для анализа различных игровых ситуаций, но и помогают глубже понять основополагающие принципы игры. Что приведёт в итоге к увеличению выигрыша и позволит игроку подняться на ещё одну ступеньку, на новый уровень, на пути к успеху.

Материал взят с сайта pokerstrategy.com.